Fachbeitrag «Massvorsätze und Zahlensysteme»

Mathematische Grundlagen

Massvorsätze

Sowohl in der Technik als auch in der Informatik werden für grosse und kleine Zahlen sogenannte «Massvorsätze» (siehe auch SI-Präfixe) verwendet. Die Massvorsätze werden ausgiebig im Mathematikkurs behandelt. Die wichtigsten sind hier zusammengefasst:

  • [Y] → Yotta → 1024 → 1'000'000'000'000'000'000'000'000 → Quadrillion
  • [E] → Zetta → 1021 → 1'000'000'000'000'000'000'000 → Trilliarde
  • [E] → Exa → 1018 → 1'000'000'000'000'000'000 → Trillion
  • [P] → Peta → 1015 → 1'000'000'000'000'000 → Billiarde
  • [T] → Tera → 1012 → 1'000'000'000'000 → Billion
  • [G] → Giga → 109 → 1'000'000'000 → Milliarde
  • [M] → Mega → 106 → 1'000'000 → Million
  • [k] → kilo → 103 → 1'000 → Tausend
  • [-] → 100 → 1 → Eins
  • [m] → milli → 10-3 → 0.001 → Tausendstel
  • [µ] → mikro → 10-6 → 0.000'001 → Millionstel
  • [n] → nano → 10-9 → 0.000'000'001 → Milliardstel
  • [p] → piko → 10-12 → 0.000'000'000'001 → Billionstel
  • [f] → femto → 10-15 → 0.000'000'000'000'001 → Billiardstel
  • [a] → atto → 10-18 → 0.000'000'000'000'000'001 → Trillionstel

Beispiele:

  • 1km = 1‘000 Meter
  • 1kg =1‘000 Gramm
  • 1kb = 1‘000 Bit (kleines b!!!)
  • 1MB = 1‘000‘000 Byte (grosses B!!)
  • Übrigens: 1Byte entspricht 8 Bit (1B = 8b)

Zahlensysteme

Der Computer kennt nur 0 und 1. Das bedeutet soviel wie «Strom ein», «Strom aus». Das heisst, dass die Daten in der PC-Elektronik binär verarbeitet werden. Ein guter Grund also, sich mit dem Binärsystem oder 2-er System auseinanderzusetzen. In der Informatik ebenfalls wichig ist das Hexadezimalsystem oder 16-er System, weil z.B. Speicheradressen in Hex angegeben werden, aber auch MAC-Adressen oder sogar die neuen IPv6-Adressen.

  • 1 bedeutet: Logisch WAHR oder TRUE / eine Spannung vorhanden / Licht an / On / Schalter geschlossen
  • 0 bedeutet: Logisch FALSCH oder FALSE / keine Spannung vorhanden / Licht aus / Off / Schalter offen

Im Folgenden werden die wichtigsten positionellen bzw. Stellenwert-Zahlensysteme behandelt:

Das altbekannte Dezimalsystem

Das Binärsystem

Das Hexadezimalsystem

Die Fortlaufende Division

Wird verwendet zur Umrechnung von Dezimal zu Binär oder Dezimal zu Hexadezimal.

Umrechnung Hexadezimal zu Binär

  • Binär > Hex: Binärzahl vom LSB in Richtung MSB in 4-er Gruppen unterteilen
  • Hex > Binär: Eine Hex-Ziffer entsprechen 4 Bit’s

HEX-Tabelle

Das 2-er Komplement - Negative Zahlen im Binärsystem

Bisher betrachtete wir nur den positiven Ganzzahlenbereich im Sinne von «Unsigned Integer». Schnell wird aber das Bedürfnis aufkommen, den Wertebereich in den negativen Zahlenbereich «Integer» zu erweitern. Dazu werden wir uns nun ein paar Gedanken machen.

Wie wir nun gesehen haben, würde die Komplementbildung mit dem 1-er Komplement funktionieren, ausser es entsteht ein Übertrag oder eine Nulldurchschreitung. Mit einem Korrekturwert könnte dieser Mangel behoben werden. Allerdings bleibt der Nachteil, dass der Wert «0» zweimal vorhanden ist. Besser wird das 2-er Komplement funktionieren, wie wir nun sofort erkennen werden.

 

Die Anzahl Bit-Kombinationen ermitteln

Wie aus obiger Tabelle ersichtlich ist, verdoppelt sich die Anzahl Bitkombinationen mit jedem weiteren Bit:

  • 1 Bit ergibt 2 Kombinationen (0 1)
  • 2 Bit ergibt 4 Kombinationen (00 01 10 11)
  • 3 Bit ergibt 8 Kombinationen (000 001 010 011 100 101 110 111)
  • 4 Bit ergibt 16 Kombinationen (siehe obige Tabelle)
  • 5 Bit ergibt 32 Kombinationen
  • 6 Bit ergibt 64 Kombinationen
  • 7 Bit ergibt 128 Kombinationen
  • 8 Bit ergibt 256 Kombinationen
  • und so weiter...

Beachten sie, dass z.B. 256 Kombinationen bei positiven Dezimalzahlen der Bereich von 0 bis 255 bedeutet.

Die Anzahl Kombinationen lassen sich auch direkt mit dieser Formel berechnen:
«Anzahl Bitkombinationen» = 2 hoch «Anzahl Bitstellen»
(hoch = Exponentialfunktion)

Zahlenbeispiel:
16 Bit ergeben wieviele Kombinationen? Die Berechnung dazu lautet...
«Anzahl Bitkombinationen» = 2 hoch «Anzahl Bitstellen»
«Anzahl Bitkombinationen» = 2 hoch 16
«Anzahl Bitkombinationen» = 65'536

Der umgekehrte Weg ist ebenfalls häufig gefragt, wenn die Anzahl benötigten Bits verlangt sind, um z.B. bei einer A/D-Wandlung 100 analoge Werte unterscheiden zu können. Man könnte nun in der obigen Auflistung nachschauen, wieviel Bits nötig werden. Es geht aber auch hier mit einer einfachen Berechnung:

«Anzahl Bit» = AUFRUNDEN von (LOG «Anzahl Bitkombinationen» / LOG 2)
(LOG = Zehnerlogarithmus)

Zahlenbeispiel:
1000 Kombinationen sind verlangt. Die Berechnung dazu lautet...
«Anzahl Bit» = AUFRUNDEN von (LOG 1000 / LOG 2)
«Anzahl Bit» = AUFRUNDEN von (3 / 0.301)
«Anzahl Bit» = AUFRUNDEN von (9.966)
«Anzahl Bit» = 10
Kontrolle: 2 hoch 10 = 1024
Da aber «nur» 1000 Kombinationen verlangt sind, wurde um 24 Kombinationen über das Ziel hinausgeschossen. Die nächstkleiner Bitanzahl wäre 9. Dies würde allerdings nur 512 Kombinationen ergeben, was definitiv zu wenig wäre.