Fachbeitrag «Massvorsätze und Zahlensysteme»

Mathematische Grundlagen

Aus der Physik: Die SI-Basisgrössen

Dem SI-System «Système international d’unités» liegen Basisgrössen und deren Einheiten zu Grunde.

Massvorsätze (1): SI-Präfixe

Die SI-Präfixe (Massvorsätze) wenden wird ganz selbstverständlich auf z.B. Basisgrössen wie Länge in Kilometer «km» oder Masse in Kilogramm «kg» an. Diese Präfixe kommen allerdings auch in der Informatik vor wie z.B. bei «MB/s» für Megabyte pro Sekunde oder «kb/s» für Kilobit pro Sekunde. Wenn also eine Sache «MegaCool» ist, heisst das, dass sie eine Million Mal «Cooler» ist als nur «Cool».

  • [Y] → Yotta → 1024 → 1'000'000'000'000'000'000'000'000 → Quadrillion
  • [Z] → Zetta → 1021 → 1'000'000'000'000'000'000'000 → Trilliarde
  • [E] → Exa → 1018 → 1'000'000'000'000'000'000 → Trillion
  • [P] → Peta → 1015 → 1'000'000'000'000'000 → Billiarde
  • [T] → Tera → 1012 → 1'000'000'000'000 → Billion
  • [G] → Giga → 109 → 1'000'000'000 → Milliarde
  • [M] → Mega → 106 → 1'000'000 → Million
  • [k] → kilo → 103 → 1'000 → Tausend
  • [-] → 100 → 1 → Eins
  • [m] → milli → 10-3 → 0.001 → Tausendstel
  • [µ] → mikro → 10-6 → 0.000'001 → Millionstel
  • [n] → nano → 10-9 → 0.000'000'001 → Milliardstel
  • [p] → piko → 10-12 → 0.000'000'000'001 → Billionstel
  • [f] → femto → 10-15 → 0.000'000'000'000'001 → Billiardstel
  • [a] → atto → 10-18 → 0.000'000'000'000'000'001 → Trillionstel

Beispiele:

  • 1km = 1‘000 Meter
  • 1kg =1‘000 Gramm
  • 1kb = 1‘000 Bit (kleines b!!!)
  • 1MB = 1‘000‘000 Byte (grosses B!!)
  • Übrigens: 1Byte entspricht 8 Bit (1B = 8b)

Massvorsätze (2): IEC-Präfixe

Die folgenden IEC-Präfixe «International Electrotechnical Commission» werden für Kapazitätsangaben bei Speichermedien verwendet. Grund: Für Datenspeicher mit binärer Adressierung ergeben sich Speicherkapazitäten von 2n Byte, d. h. Zweierpotenzen.

  • [Yi] → Yobi → 280 → 1'208'925'819'614'629'174'706.176
  • [Zi] → Zebi → 270 → 1'180'591'620'717'411'303'424
  • [Ei] → Exbi → 260 → 1'152'921'504'606'846'976
  • [Pi] → Pebi → 250 → 1'125'899'906'842'624
  • [Ti] → Tebi → 240 → 1'099'511'627'776
  • [Gi] → Gibi → 230 → 1'073'741.824
  • [Mi] → Mebi → 220 → 1'048'576
  • [ki] → Kibi → 210 → 1'024

Beispiele:

  • 512 MiB (Mebibyte) = 512 * 220 Byte = 536'870'912 Byte
  • 256 kib (Kibibit) = 256 * 210 Bit = 262'144 Bit
  • Übrigens: 1Byte entspricht 8 Bit (1B = 8b)

Zahlensysteme

Im Folgenden werden die für Informatiker wichtigsten positionellen bzw. Stellenwert-Zahlensysteme behandelt:

Das Dezimalsystem

Damit eine Dezimalzahl von einer Binär- oder Hexadezimalzahl unterschieden werden kann, soll sie am Ende mit einer tiefergestellten «D» (Tiefstellung/Subskript) gekennzeichnet werden. Bsp.: 5238D, 1000D

Das Binärsystem

Damit eine Binärzahl von einer Dezimal- oder Hexadezimalzahl unterschieden werden kann, soll sie am Ende mit einer tiefergestellten «B» (Tiefstellung/Subskript) gekennzeichnet werden. Bsp.: 1101B
In vielen Fällen werden sogenannte führende Nullen angegeben. Die Dezimalzahl 5D sieht als 4-Bit-Zahl demzufolge so aus: 0101B, als 8-Bit-Zahl: 0000'0101B und als 16-Bit-Zahl: 0000'00000'0000'0101B

Das Hexadezimalsystem

Damit eine Hexadezimalzahl von einer Binär- oder Dezimalzahl unterschieden werden kann, soll sie am Ende mit einer tiefergestellten «H» (Tiefstellung/Subskript) gekennzeichnet werden. Bsp.: 1A3BH , 1426H, 1001H

Die Fortlaufende Division

Wird verwendet zur Umrechnung von Dezimal zu Binär oder Dezimal zu Hexadezimal.

Umrechnung Hexadezimal zu Binär

  • Binär > Hex: Binärzahl vom LSB in Richtung MSB in 4-er Gruppen unterteilen
  • Hex > Binär: Eine Hex-Ziffer entsprechen 4 Bit’s

HEX-Tabelle

Das 2-er Komplement - Negative Zahlen im Binärsystem

Bisher betrachtete wir nur den positiven Ganzzahlenbereich im Sinne von «Unsigned Integer». Schnell wird aber das Bedürfnis aufkommen, den Wertebereich in den negativen Zahlenbereich «Integer» zu erweitern. Dazu werden wir uns nun ein paar Gedanken machen.

Wie wir nun gesehen haben, würde die Komplementbildung mit dem 1-er Komplement funktionieren, ausser es entsteht ein Übertrag oder eine Nulldurchschreitung. Mit einem Korrekturwert könnte dieser Mangel behoben werden. Allerdings bleibt der Nachteil, dass der Wert «0» zweimal vorhanden ist. Besser wird das 2-er Komplement funktionieren, wie wir nun sofort erkennen werden.