Begleitmaterial zum Unterricht M114 «Digitaltechnik»

Von den Zahlensystemen bis zu der Analg-Digital-Wandlung

1.0 Studium der mathematischen Grundlagen

Erarbeiten sie die Theorie zu folgenden Themen:

  • Massvorsätze (SI-, und IEC-Präfixe)
  • Bit und Byte
  • Zahlensysteme (Binär, Dezimal, Hexadezimal), insbesondere Zahlenumwandlung, 2-er Komplement für negative Zahlen
  • Analog und Digital (A/D & D/A-Wandlung)
  • Kombinatorik

und erstellen sie eine Zusammenfassung in der Grössenordnung von 1..2 Seiten. Etwa so, wie wenn sie einen Spickzettel für eine Prüfung zusammenstellen würden. Sie finden z.B. auf dieser Webseite entsprechende Fachbeiträge.

1.1 Übung SI-Präfixe, Zahlendarstellung, Bit & Byte

  • Zwei tausendstel Millimeter in Meter (inkl. dem passenden Massvorsatz/SI-Präfix)
  • 234 Milliarden Mikroliter in Liter
  • Wandeln Sie 3 Tage 14 Stunden 16 Minuten und 23 Sekunden in Sekunden um
  • Gemäss CISCO soll der weltweite Datenverkehr über das IP-Protokoll im Jahre 2021 3.3 ZettaByte betragen. Wie vielen Blue-Ray-Disk's mit einem Fassungsvermögen von je 25GB entspräche dies?
  • Ein Spannungsmessgerät hat einen Messbereich von 0 bis 99.9 Volt. Wie wird von diesem Gerät eine tatsächliche Spannung von 85.95 Volt angezeigt?
  • Wie viele Zustände lassen sich mit einem Byte darstellen?
  • Welches ist der minimale Wert in einem Byte in binärer und dezimaler Darstellung?
  • Welches ist der maximale Wert in einem Byte in binärer und dezimaler Darstellung?
  • Wie viele Zustände lassen sich mit 2 Byte = 16 Bit darstellen?
  • Wie viele Zustände lassen sich mit 4 Byte = 32 Bit darstellen?

1.2 Übungen zu Zahlensysteme

  • Dezimal 9 ergibt Binär?
  • Dezimal 100 ergibt Binär?
  • Dezimal 127 ergibt Binär?
  • Binär 0011'1100 ergibt Dezimal?
  • Binär 1010'1010 ergibt Dezimal?
  • Binär 1111'1111 ergibt Dezimal?
  • Hexadezimal 1F ergibt Dezimal?
  • Hexadezimal AA ergibt Dezimal?
  • Hexadezimal 100 ergibt Dezimal?
  • Dezimal 17 ergibt Hexadezimal?
  • Dezimal 32 ergibt Hexadezimal?
  • Dezimal 400 ergibt Hexadezimal?
  • Hexadezimal 1291 ergibt Binär?
  • Hexadezimal AE90BD ergibt Binär?
  • Binär 1110'0000'1010'0111 ergibt Hexadezimal?
  • Binär 1010'0000'1111'0101'0000'0010'0101'0111 ergibt Hexadezimal?

1.3 Addition von Binärzahlen

  • 0001'0001 + 1000'0001 =
  • 0001'1011 + 1000'1101 =
  • 0001'1111 + 1000'1101 =
  • 0111'1101 + 1011'1111 =

1.4 Übung Bitmap

Zeichnen sie eine quadratische Fläche mit 64 Feldern (Schachbrettmuster mit ausschliesslich weissen Feldern). Sie erhalten folgende 16 Hexadezimalwerte: 80C0E0F0F8FCFEFF. Sie sollen damit die 64 Felder/Häuschen ausmalen. Ein Hexadezimalwert von z.B. «B» würde bedeuten «1011» oder «BlauesFeld/WeissesFeld/BlauesFeld/BlauesFeld». Beim Ausmalen beginnen sie linksoben. Was stellt das Bild dar?

1.5 Übung Kombinationen

  • Sie müssen 100 Treppenstufen zählen. Nennen sie die Anzahl Bit-Stellen die sie bei einer Zählung im Binärsystem benötigen würden.
  • Ein Thermometer muss Temperaturen von -100º bis + 100º Celcius in Zehntelsschritten anzeigen können. Welche Breite (=Anzahl paralleler Leitungen) müsste der Datenbus zwischen dem Temperatursensor mit Analog-Digitalwandlung und der Anzeigeeinheit aufweisen?

1.6 Übung Datenbus

  • Ein 16 Bit breiter Datenbus wird mit 100kHz getaktet. Wie gross wird die Datenübertragungsrate in Mb/s und in MB/s?
  • Ein 64 Bit breiter Datenbus wird mit 200MHz getaktet. Wie gross wird die Datenübertragungsrate in Gb/s und in GB/s?
  • Ein 12 Bit breiter Datenbus wird mit 100kHz getaktet. Mit welcher Taktfrequenz müsste ein bitserieller Datenbus getaktet werden, wenn er die gleiche Datenübertragungsrate aufweisen soll?
  • Ein Datenbus wird mit 400kHz getaktet und überträgt Daten mit einer Übertragungsrate ü = 0.7 MB/s. Wie breit ist der Bus?

1.7 Übung Adressierung

  • Wie gross ist ein Speicher in MB, wenn der Adressbus 20 Bit breit ist und pro Adresse 16 Bit gespeichert wird?
  • Wie gross ist ein Speicher in MB, wenn der Adressbus 24 Bit breit ist und pro Adresse 24 Bit gespeichert wird?
  • Wie gross ist ein Speicher in MB, wenn der Adressbus 18 Bit breit ist und pro Adresse 14 Bit gespeichert wird?

1.8 Übung A/D- und D/A-Wandlung

  • Der A/D-Wandler in Aufgabe 1 tastet das Analogsignal mit 200 Hz ab
    Wie gross ist die Auflösung in Bit?
    Wie viele verschiedene Werte kann er darstellen?
    Wie gross ist der Speicherbedarf je Sekunde?
    Wie viele Bit werden in 24 Stunden abgespeichert?
  • Der A/D-Wandler in Aufgabe 2 erhält das im Bild gezeigte analoge Signal
    Zeichnen sie das digitalisierte Signal in das Amplituden-Zeit-Diagramm ein
    Bestimmen sie die Amplitudenwerte der Samples als Dezimalwerte und als Binärwerte
    Wie viele Bit werden pro Sekunde gespeichert?
  • In Aufgabe 3 erhalten sie die digitalisierten Werte einer Kurve. Das Signal soll von Digital zu Analog gewandelt werden
    Zeichnen sie die Kurve (Graphen) in ein Amplituden-Zeit-Diagramm ein

Lösungen zu 1.1 SI-Präfixe und Zahlendarstellung, Bit & Byte

  • Zwei tausendstel Millimeter in Meter = 2 um (Mikrometer)
  • 234 Milliarden Mikroliter in Liter = 234'000 l (Liter)
  • Wandeln Sie 3 Tage 14 Stunden 16 Minuten und 23 Sekunden in Sekunden um = 310'583 s (Sekunden)
  • Gemäss CISCO soll der weltweite Datenverkehr über das IP-Protokoll im Jahre 2021 3.3 ZettaByte betragen. Wie vielen Blue-Ray-Disk's mit einem Fassungsvermögen von je 25GB entspräche dies? = 132 Milliarden BD's
  • Ein Spannungsmessgerät hat einen Messbereich von 0 bis 99.9 Volt. Wie wird von diesem Gerät eine tatsächliche Spannung von 85.95 Volt angezeigt? = Es wird 86.0 V angezeigt
  • Wie viele Zustände lassen sich mit einem Byte darstellen? = 256 Zustände
  • Welches ist der minimale Wert in einem Byte in binärer und dezimaler Darstellung? = 0 oder 0000'0000
  • Welches ist der maximale Wert in einem Byte in binärer und dezimaler Darstellung? = 255 oder 1111'1111
  • Wie viele Zustände lassen sich mit 2 Byte = 16 Bit darstellen? = 65'536 Zustände
  • Wie viele Zustände lassen sich mit 4 Byte = 32 Bit darstellen? = 4'294'967'296 Zustände

 Lösungen zu 1.2 Zahlensysteme

  • Dezimal 9 ergibt Binär? = 0000'1001
  • Dezimal 100 ergibt Binär? = 0110'0100
  • Dezimal 127 ergibt Binär? = 0111'1111
  • Binär 0011'1100 ergibt Dezimal? = 60
  • Binär 1010'1010 ergibt Dezimal? = 170
  • Binär 1111'1111 ergibt Dezimal? = 255
  • Hexadezimal 1F ergibt Dezimal? = 31
  • Hexadezimal AA ergibt Dezimal? = 170
  • Hexadezimal 100 ergibt Dezimal? = 256
  • Dezimal 17 ergibt Hexadezimal? = 11
  • Dezimal 32 ergibt Hexadezimal? = 20
  • Dezimal 400 ergibt Hexadezimal? = 190
  • Hexadezimal 1291 ergibt Binär? = 0001'0010'1001'0001
  • Hexadezimal AE90BD ergibt Binär? = 1010'1110'1001'0000'1011'1101
  • Binär 1110'0000'1010'0111 ergibt Hexadezimal? = E0A7
  • Binär 1010'0000'1111'0101'0000'0010'0101'0111 ergibt Hexadezimal? = A0F50257

Lösungen zu 1.3 Addition von Binärzahlen

  • 0001'0001 + 1000'0001 = 1001'0010
  • 0001'1011 + 1000'1101 = 1010'1000
  • 0001'1111 + 1000'1101 = 1010'1100
  • 0111'1101 + 1011'1111 = 0011'1100 und Übertrag 1 in nächsthöhere Stelle (Entspräche bei 8Bit einem Dataoverflow)

Lösung zu 1.4 Bitmap

Zeichnen sie eine quadratische Fläche mit 64 Feldern (Schachbrettmuster mit ausschliesslich weissen Feldern). Sie erhalten folgende 16 Hexadezimalwerte: 80C0E0F0F8FCFEFF. Sie sollen damit die 64 Felder/Häuschen ausmalen. Ein Hexadezimalwert von z.B. «B» würde bedeuten «1011» oder «BlauesFeld/WeissesFeld/BlauesFeld/BlauesFeld». Beim Ausmalen beginnen sie linksoben. Was stellt das Bild dar? = Es stellt das Zürcher-Wappen dar

Lösung zu 1.5 Kombinationen

  • Sie müssen 100 Treppenstufen zählen. Nennen sie die Anzahl Bit-Stellen die sie bei einer Zählung im Binärsystem benötigen würden.
    Erste Variante: Durch Probieren, wie folgt...
    4 Bit-Stellen: 24=16 (Folgerung: 4 Bitstellen sind zu wenig)
    5 Bit-Stellen: 25=32 (Folgerung: 5 Bitstellen sind zu wenig)
    6 Bit-Stellen: 26=64 (Folgerung: 6 Bitstellen sind zu wenig)
    7 Bit-Stellen: 27=128 (Folgerung: 7 Bitstellen genügen und übertreffen sogar die Forderung)
    8 Bit-Stellen: 28=256 (Folgerung: 8 Bitstellen sind zu viel und somit eine "Platzverschwendung")
    Zweite Variante: Durch Berechnung, wie folgt...
    Anzahl Stellen ergeben sich aus: LOG(100) / LOG(2) aufgerundet auf die nachsthöhere ganze Zahl.
    Anz.Stellen = 2 / 0.30103 = 6.64 und somit aufgerundet den Wert 7
  • Ein Thermometer muss Temperaturen von -100º bis + 100º Celcius in Zehntelsschritten anzeigen können. Welche Breite (=Anzahl paralleler Leitungen) müsste der Datenbus zwischen dem Temperatursensor mit Analog-Digitalwandlung und der Anzeigeeinheit aufweisen?
    -100º bis + 100º Celcius in Zehntelsschritten ergibt 2001 unterschiedliche Werte.
    2001 Werte erfordern 11 Bit (Rechnung: LOG(2001) / LOG(2) = 10.9665 bzw. 11)
    Kontrolle: 211 = 2048 (47 Kombinationen werden übrigens nicht verwendet. Man spricht dann von einem redundanten Code)

Lösungen zu 1.6 Datenbus

  • Ein 16 Bit breiter Datenbus wird mit 100kHz getaktet. Wie gross wird die Datenübertragungsrate in Mb/s und in MB/s? = 1.6 Mb/s oder 0.2 MB/s
  • Ein 64 Bit breiter Datenbus wird mit 200MHz getaktet. Wie gross wird die Datenübertragungsrate in Gb/s und in GB/s? =  12.8 Gb/s oder 1.6 GB/s
  • Ein 12 Bit breiter Datenbus wird mit 100kHz getaktet. Mit welcher Taktfrequenz müsste ein bitserieller Datenbus getaktet werden, wenn er die gleiche Datenübertragungsrate aufweisen soll? = 1.2 MHz
  • Ein Datenbus wird mit 400kHz getaktet und überträgt Daten mit einer Übertragungsrate ü = 0.7 MB/s. Wie breit ist der Bus? = 14 Bit

Lösungen zu 1.7 Adressierung

  • Wie gross ist ein Speicher in MB, wenn der Adressbus 20 Bit breit ist und pro Adresse 16 Bit gespeichert wird? = 2.097 MB
  • Wie gross ist ein Speicher in MB, wenn der Adressbus 24 Bit breit ist und pro Adresse 24 Bit gespeichert wird? = 50.33 MB
  • Wie gross ist ein Speicher in MB, wenn der Adressbus 18 Bit breit ist und pro Adresse 14 Bit gespeichert wird? = 0.459 MB

Lösung zu 1.8 A/D- und D/A-Wandlung

  • Der A/D-Wandler in Aufgabe 1 tastet das Analogsignal mit 200 Hz ab
    Wie gross ist die Auflösung in Bit? = 12 Bit (0 bis 11 = 12)
    Wie viele verschiedene Werte kann er darstellen? = 2 hoch 12 = 4096 Werte
    Wie gross ist der Speicherbedarf je Sekunde?  = 2400 Bit/sek
    Wie viele Bit werden in 24 Stunden abgespeichert? = 207.36 Mb
  • Der A/D-Wandler in Aufgabe 2 erhält das im Bild gezeigte analoge Signal.
    Zeichnen sie das digitalisierte Signal in das Amplituden-Zeit-Diagramm ein = Siehe Lösungsbild
    Bestimmen sie die Amplitudenwerte der Samples als Dezimalwerte und als Binärwerte = t0:14/1110, t1:13/1101, t2:11/1011, t3:7/0111, t4:3/0011, t5:3/0011, t6:6/0110, t7:10/1010, t8:12/1100, t9:13/1101, t10:13/1101
    Wie viele Bit werden pro Sekunde gespeichert? = 1000 Messwerte pro Sekunde ergibt 4000 Bit/sek
  • In Aufgabe 3 erhalten sie die digitalisierten Werte einer Kurve. Das Signal soll von Digital zu Analog gewandelt werden
    Zeichnen sie die Kurve (Graphen) in das Amplituden-Zeit-Diagramm ein = t0:1110/14, t1:1111/15, t2:1110/14, t3:1010/10, t4:0111/7, t5:0111/7, t6:0111/7, t7:1000/8, t8:0111/7, t9:0101/5, t10:0011/3 Siehe Abbildung. Der Graph wird mit einem speziellen analogen Filter anschliessend noch etwas «geschmeidiger» gemacht