Begleitmaterial zum Unterricht M114 «Digitaltechnik»

Von den Zahlensystemen bis zu der Analg-Digital-Wandlung

1.0 Studium der mathematischen Grundlagen

Erarbeiten sie die Theorie zu folgenden Themen:

  • Massvorsätze (SI-, und IEC-Präfixe)
  • Bit und Byte
  • Zahlensysteme (Binär, Dezimal, Hexadezimal), insbesondere Zahlenumwandlung, 2-er Komplement für negative Zahlen
  • Analog und Digital (A/D & D/A-Wandlung)
  • Kombinatorik

und erstellen sie eine Zusammenfassung in der Grössenordnung von 1..2 Seiten. Etwa so, wie wenn sie einen Spickzettel für eine Prüfung zusammenstellen würden. Sie finden z.B. auf dieser Webseite entsprechende Fachbeiträge.

1.1 Übung SI-Präfixe, Zahlendarstellung, Bit & Byte

Hinweis zu ihrem Taschenrechner: Z.B. Eine Million = 1'000'000 = 1 * 106 = 1EE6 oder 1EXP6

  1. Zwei tausendstel Millimeter in Meter (inkl. dem passenden Massvorsatz/SI-Präfix)
  2. 234 Milliarden Mikroliter in Liter
  3. Wandeln Sie 3 Tage 14 Stunden 16 Minuten und 23 Sekunden in Sekunden um
  4. Gemäss CISCO soll der weltweite Datenverkehr über das IP-Protokoll im Jahre 2021 3.3 ZettaByte betragen. Wie vielen Blue-Ray-Disk's mit einem Fassungsvermögen von je 25GB entspräche dies?
  5. Ein Spannungsmessgerät hat einen Messbereich von 0 bis 99.9 Volt. Wie wird von diesem Gerät eine tatsächliche Spannung von 85.95 Volt angezeigt?
  6. Wie viele Zustände lassen sich mit einem Byte darstellen?
  7. Welches ist der minimale Wert in einem Byte in binärer und dezimaler Darstellung?
  8. Welches ist der maximale Wert in einem Byte in binärer und dezimaler Darstellung?
  9. Wie viele Zustände lassen sich mit 2 Byte = 16 Bit darstellen?
  10. Wie viele Zustände lassen sich mit 4 Byte = 32 Bit darstellen?

1.2 Übungen zu Zahlensysteme

Bevor wir die folgenden Aufgaben lösen können, befassen wir uns mit dem Aufbau der folgenden drei positionellen (Stellenwert-) Zahlensystemen:

  • Zehnersystem (Allgemein bekannt)
  • 2er-System oder Dual- bzw. Binärsystem (So rechnet der Computer)
  • 16-er System oder Hexadezimal oder kurz HEX (Wichtig in der Informatik: HEX-Dump, IPv6-Adresse etc. Einer HEX-Ziffer entsprechen 4 Bit)

Drucken sie dieses Dokument dreimal aus und folgen sie aufmerksam den Ausführungen des Dozenten.

Dieses Arbeitspapier können sie hier downloaden: Zahlensysteme.pdf

Nach dieser Einführung sollte es ihnen nun möglich sein, diese Aufgabe zu lösen:

  1. Binär 0011'1100 ergibt Dezimal?
  2. Binär 1010'1010 ergibt Dezimal?
  3. Binär 1111'1111 ergibt Dezimal?
  4. Hexadezimal 1F ergibt Dezimal?
  5. Hexadezimal AA ergibt Dezimal?
  6. Hexadezimal 100 ergibt Dezimal?
  7. Dezimal 9 ergibt Binär?
  8. Dezimal 100 ergibt Binär?
  9. Dezimal 127 ergibt Binär?
  10. Dezimal 17 ergibt Hexadezimal?
  11. Dezimal 32 ergibt Hexadezimal?
  12. Dezimal 400 ergibt Hexadezimal?
  13. Hexadezimal 1291 ergibt Binär?
  14. Hexadezimal AE90BD ergibt Binär?
  15. Binär 1110'0000'1010'0111 ergibt Hexadezimal?
  16. Binär 1010'0000'1111'0101'0000'0010'0101'0111 ergibt Hexadezimal?

1.3 Addition von Binärzahlen

  1. 0001'0001 + 1000'0001 =
  2. 0001'1011 + 1000'1101 =
  3. 0001'1111 + 1000'1101 =
  4. 0111'1101 + 1011'1111 =

1.4 Übung Bitmap

Zeichnen sie eine quadratische Fläche mit 64 Feldern (Schachbrettmuster mit ausschliesslich weissen Feldern). Sie erhalten folgende 16 Hexadezimalwerte: 80C0E0F0F8FCFEFF. Sie sollen damit die 64 Felder/Häuschen ausmalen. Ein Hexadezimalwert von z.B. «B» würde bedeuten «1011» oder «BlauesFeld/WeissesFeld/BlauesFeld/BlauesFeld». Beim Ausmalen beginnen sie linksoben. Was stellt das Bild dar?

1.5 Übung Kombinationen

  1. Sie müssen 100 Treppenstufen zählen. Nennen sie die Anzahl Bit-Stellen die sie bei einer Zählung im Binärsystem benötigen würden.
  2. Ein Thermometer muss Temperaturen von -100º bis + 100º Celcius in Zehntelsschritten anzeigen können. Welche Breite (=Anzahl paralleler Leitungen) müsste der Datenbus zwischen dem Temperatursensor mit Analog-Digitalwandlung und der Anzeigeeinheit aufweisen?

1.6 Übung Datenbus

  1. Ein 16 Bit breiter Datenbus wird mit 100kHz getaktet. Wie gross wird die Datenübertragungsrate in Mb/s und in MB/s?
  2. Ein 64 Bit breiter Datenbus wird mit 200MHz getaktet. Wie gross wird die Datenübertragungsrate in Gb/s und in GB/s?
  3. Ein 12 Bit breiter Datenbus wird mit 100kHz getaktet. Mit welcher Taktfrequenz müsste ein bitserieller Datenbus getaktet werden, wenn er die gleiche Datenübertragungsrate aufweisen soll?
  4. Ein Datenbus wird mit 400kHz getaktet und überträgt Daten mit einer Übertragungsrate ü = 0.7 MB/s. Wie breit ist der Bus?

1.7 Übung Adressierung

  1. Wie gross ist ein Speicher in MB, wenn der Adressbus 20 Bit breit ist und pro Adresse 16 Bit gespeichert wird?
  2. Wie gross ist ein Speicher in MB, wenn der Adressbus 24 Bit breit ist und pro Adresse 24 Bit gespeichert wird?
  3. Wie gross ist ein Speicher in kB, wenn der Adressbus 18 Bit breit ist und pro Adresse 14 Bit gespeichert wird?

1.8 Übung A/D- und D/A-Wandlung

  1. Der A/D-Wandler in Aufgabe 1 tastet das Analogsignal mit 200 Hz ab
    Wie gross ist die Auflösung in Bit?
    Wie viele verschiedene Werte kann er darstellen?
    Wie gross ist der Speicherbedarf je Sekunde?
    Wie viele Bit werden in 24 Stunden abgespeichert?
  2. Der A/D-Wandler in Aufgabe 2 erhält das im Bild gezeigte analoge Signal
    Zeichnen sie das digitalisierte Signal in das Amplituden-Zeit-Diagramm ein
    Bestimmen sie die Amplitudenwerte der Samples als Dezimalwerte und als Binärwerte
    Wie viele Bit werden pro Sekunde gespeichert?
  3. In Aufgabe 3 erhalten sie die digitalisierten Werte einer Kurve. Das Signal soll von Digital zu Analog gewandelt werden
    Zeichnen sie die Kurve (Graphen) in ein Amplituden-Zeit-Diagramm ein

Lösungen zu 1.1 SI-Präfixe und Zahlendarstellung, Bit & Byte

  1. Zwei tausendstel Millimeter in Meter = 0.002 Millimeter = 2 μm (Mikrometer)
  2. 234 Milliarden Mikroliter in Liter = 234 * 109 μl = 234EE9 * 1EE-6 = 234'000 l (Liter)
  3. Wandeln Sie 3 Tage 14 Stunden 16 Minuten und 23 Sekunden in Sekunden um = 1h=60m*60s=3600s / 1d=24h*3600s=86400s / 3d14h16m23s=310'583 s (Sekunden)
  4. Gemäss CISCO soll der weltweite Datenverkehr über das IP-Protokoll im Jahre 2021 3.3 ZettaByte betragen. Wie vielen Blue-Ray-Disk's mit einem Fassungsvermögen von je 25GB entspräche dies? = 1ZB=1*1021B / Somit: 3.3*1021/25*109 = 132*109 oder 132 Milliarden BD's
  5. Ein Spannungsmessgerät hat einen Messbereich von 0 bis 99.9 Volt. Wie wird von diesem Gerät eine tatsächliche Spannung von 85.95 Volt angezeigt? =
    Gerundet auf die erste Nachkommastelle ergibt: Es wird 86.0 V angezeigt
  6. Wie viele Zustände lassen sich mit einem Byte darstellen? 1Byte = 8 Bit = 28 Kombinationen bzw. 256 Zustände
  7. Welches ist der minimale Wert in einem Byte in binärer und dezimaler Darstellung? = 0 oder 0000'0000
  8. Welches ist der maximale Wert in einem Byte in binärer und dezimaler Darstellung? = 255 oder 1111'1111
  9. Wie viele Zustände lassen sich mit 2 Byte = 16 Bit darstellen? = 16 Bit = 216 = 65'536 Zustände
  10. Wie viele Zustände lassen sich mit 4 Byte = 32 Bit darstellen? = 32 Bit = 232 = 4'294'967'296 Zustände

 Lösungen zu 1.2 Zahlensysteme

  1. Binär 0011'1100 ergibt Dezimal? = 60
  2. Binär 1010'1010 ergibt Dezimal? = 170
  3. Binär 1111'1111 ergibt Dezimal? = 255
  4. Hexadezimal 1F ergibt Dezimal? = 31
  5. Hexadezimal AA ergibt Dezimal? = 170
  6. Hexadezimal 100 ergibt Dezimal? = 256
  7. Dezimal 9 ergibt Binär? = 0000'1001
  8. Dezimal 100 ergibt Binär? = 0110'0100
  9. Dezimal 127 ergibt Binär? = 0111'1111
  10. Dezimal 17 ergibt Hexadezimal? = 11
  11. Dezimal 32 ergibt Hexadezimal? = 20
  12. Dezimal 400 ergibt Hexadezimal? = 190
  13. Hexadezimal 1291 ergibt Binär? = 0001'0010'1001'0001
  14. Hexadezimal AE90BD ergibt Binär? = 1010'1110'1001'0000'1011'1101
  15. Binär 1110'0000'1010'0111 ergibt Hexadezimal? = E0A7
  16. Binär 1010'0000'1111'0101'0000'0010'0101'0111 ergibt Hexadezimal? = A0F50257

Lösungen zu 1.3 Addition von Binärzahlen

  1. 0001'0001 + 1000'0001 = 1001'0010
  2. 0001'1011 + 1000'1101 = 1010'1000
  3. 0001'1111 + 1000'1101 = 1010'1100
  4. 0111'1101 + 1011'1111 = 0011'1100 und Übertrag 1 in nächsthöhere Stelle (Entspräche bei 8Bit einem Dataoverflow)

Lösung zu 1.4 Bitmap

Zeichnen sie eine quadratische Fläche mit 64 Feldern (Schachbrettmuster mit ausschliesslich weissen Feldern). Sie erhalten folgende 16 Hexadezimalwerte: 80C0E0F0F8FCFEFF. Sie sollen damit die 64 Felder/Häuschen ausmalen. Ein Hexadezimalwert von z.B. «B» würde bedeuten «1011» oder «BlauesFeld/WeissesFeld/BlauesFeld/BlauesFeld». Beim Ausmalen beginnen sie linksoben. Was stellt das Bild dar? =
Z.B. 80 = 1000'0000, C0 = 1100'0000, E0 = 1110'0000 usw. Es stellt somit das Zürcher-Wappen dar

Lösung zu 1.5 Kombinationen

  1. Sie müssen 100 Treppenstufen zählen. Nennen sie die Anzahl Bit-Stellen die sie bei einer Zählung im Binärsystem benötigen würden.
    Erste Variante: Durch Probieren, wie folgt...
    4 Bit-Stellen: 24=16 (Folgerung: 4 Bitstellen sind zu wenig)
    5 Bit-Stellen: 25=32 (Folgerung: 5 Bitstellen sind zu wenig)
    6 Bit-Stellen: 26=64 (Folgerung: 6 Bitstellen sind zu wenig)
    7 Bit-Stellen: 27=128 (Folgerung: 7 Bitstellen genügen und übertreffen sogar die Forderung)
    8 Bit-Stellen: 28=256 (Folgerung: 8 Bitstellen sind zu viel und somit eine "Platzverschwendung")
    Zweite Variante: Durch Berechnung, wie folgt...

    Anzahl Stellen ergeben sich aus: LOG(100) / LOG(2) aufgerundet auf die nachsthöhere ganze Zahl.
    Anz.Stellen = 2 / 0.30103 = 6.64 und somit aufgerundet den Wert 7
  2. Ein Thermometer muss Temperaturen von -100º bis + 100º Celcius in Zehntelsschritten anzeigen können. Welche Breite (=Anzahl paralleler Leitungen) müsste der Datenbus zwischen dem Temperatursensor mit Analog-Digitalwandlung und der Anzeigeeinheit aufweisen?
    -100º bis + 100º Celcius in Zehntelsschritten ergibt 2001 unterschiedliche Werte.
    2001 Werte erfordern 11 Bit (Rechnung: LOG(2001) / LOG(2) = 10.9665 bzw. 11)
    Kontrolle: 211 = 2048 (47 Kombinationen werden übrigens nicht verwendet. Man spricht dann von einem redundanten Code)
    Bemerkung: der Log ist die Umkehrfunktion vom 10-er-Potenzieren. Bsp: 103 = 1000   log(1000) = 3

Lösungen zu 1.6 Datenbus

Beispiel: Ein 8 Bit breiter Datenbus mit 1kHz getaktet:
Takt bedeutet: Pro Takt gehen in diesem Fall gleichzeitig 8 Bit über die Leitung
Der Takt wird in Hz [Hertz] gemessen. Gemeint sind Anzahl Schwingungen (oder Takte) pro Sekunde. 
1kHz -> 1'000 mal pro Sek.
Somit pro Sek.: 1'000 Takte x 8 Bit
Oder pro Sek.: 1'000 Takte x 1Byte = 1'000 Byte/sec = 1kB/s

  1. Ein 16 Bit breiter Datenbus wird mit 100kHz getaktet. Wie gross wird die Datenübertragungsrate in Mb/s und in MB/s? = 100kHz Takt bedeutet 1000 x werden pro Sekunde 16 Bit übertragen. Somit 1.6 Mb/s oder 0.2 MB/s
  2. Ein 64 Bit breiter Datenbus wird mit 200MHz getaktet. Wie gross wird die Datenübertragungsrate in Gb/s und in GB/s? =  200*106 Takte pro Sekunde * 8Byte = 12.8 Gb/s oder 1.6 GB/s
  3. Ein 12 Bit breiter Datenbus wird mit 100kHz getaktet. Mit welcher Taktfrequenz müsste ein bitserieller Datenbus getaktet werden, wenn er die gleiche Datenübertragungsrate aufweisen soll? = 100*103Hz * 12 Bit (Parallel) = 1.2Mb/sec; 1.2Mb/sec / 1 Bit (Seriell) = 1.2 MHz (Taktfrequenz) Oder einfacher: Der Takt muss für die serielle Übertragung 12x schneller sein.
  4. Ein Datenbus wird mit 400kHz getaktet und überträgt Daten mit einer Übertragungsrate ü = 0.7 MB/s. Wie breit ist der Bus? = Busbreite=>Somit Parallel! 0.7MB/sec = 5.6Mb/sec; 5.6*106b/sec / 400*103Hz = 14 Bit breit ist der Parallelbus

Lösungen zu 1.7 Adressierung

  1. Wie gross ist ein Speicher in MB, wenn der Adressbus 20 Bit breit ist und pro Adresse 16 Bit gespeichert wird? = Adressbus von 20 Bit ergibt 220 Adressen. An jeder Adresse werden 16Bit oder 2Byte gespeichert. Somit: 220 * 2B = 2'097'152B (ca. 2.097 MB) oder da es sich um Speicher handelt, wo gilt 1MB = 1'048'576B: 2 MiBi
  2. Wie gross ist ein Speicher in MB, wenn der Adressbus 24 Bit breit ist und pro Adresse 24 Bit gespeichert wird? = Adressbus von 24 Bit ergibt 224 Adressen. An jeder Adresse werden 24Bit oder 3Byte gespeichert. Somit: 220 * 3B = 50'331'648B (ca. 50.33 MB) oder da es sich um Speicher handelt, wo gilt 1MB = 1'048'576B: 48 MiBi
  3. Wie gross ist ein Speicher in kB, wenn der Adressbus 18 Bit breit ist und pro Adresse 14 Bit gespeichert wird? = Adressbus von 18 Bit ergibt 218 Adressen. An jeder Adresse werden 14Bit oder 1.75Byte gespeichert. Somit: 218 * 1.75B = 458'752B (ca. 459 kB) oder da es sich um Speicher handelt, wo gilt 1kB = 1'024B: 448 kiBi

Lösung zu 1.8 A/D- und D/A-Wandlung

  1. Der A/D-Wandler in Aufgabe 1 tastet das Analogsignal mit 200 Hz ab
    Wie gross ist die Auflösung in Bit? = Gemäss Schaltbild (links) 12 Ausgänge und somit 12 Bit Parallel
    Wie viele verschiedene Werte kann er darstellen? = 12 Bit ergeben 212 Kombinationen bzw. ausgerechnet 4096 Kombinationen oder Werte
    Wie gross ist der Speicherbedarf je Sekunde?  = Gemäss Bild ist die Abtastrate 200Hz. Somit 200Hz * 12 Bit = 2400 Bit/sek
    Wie viele Bit werden in 24 Stunden abgespeichert? = 1h=3600s; 1d=86'400s. Somit 2400b/s * 86'400 = 207'360'000b/d oder 207.36 Mb pro Tag (ca. 26MB)
  2. Der A/D-Wandler in Aufgabe 2 erhält das im Bild gezeigte analoge Signal.
    Achtung: Diese Aufgabe bezieht sich nicht auf den AD-Wandler in Aufgabe 1 sondern auf die Diagramme und somit einen anderen AD-Wandler!
    Zeichnen sie das digitalisierte Signal in das Amplituden-Zeit-Diagramm ein = Siehe Lösungsbild
    Bestimmen sie die Amplitudenwerte der Samples als Dezimalwerte und als Binärwerte = t0:14/1110, t1:13/1101, t2:11/1011, t3:7/0111, t4:3/0011, t5:3/0011, t6:6/0110, t7:10/1010, t8:12/1100, t9:13/1101, t10:13/1101
    Wie viele Bit werden pro Sekunde gespeichert? = 1000 Messwerte zu je 4Bit (0000 bis 1111) pro Sekunde ergibt 4000 Bit/sek
  3. In Aufgabe 3 erhalten sie die digitalisierten Werte einer Kurve. Das Signal soll von Digital zu Analog gewandelt werden
    Zeichnen sie die Kurve (Graphen) in das Amplituden-Zeit-Diagramm ein = t0:1110/14, t1:1111/15, t2:1110/14, t3:1010/10, t4:0111/7, t5:0111/7, t6:0111/7, t7:1000/8, t8:0111/7, t9:0101/5, t10:0011/3 Siehe Abbildung. Der Graph wird mit einem speziellen analogen Filter anschliessend noch etwas «geschmeidiger» gemacht